De múltiplos y divisores

La necesidad de que un número sea entero da lugar curiosos problemas como el que sigue


Enunciado

Un pastor tenía 3 hijos y toda su fortuna la constituían sus ovejas. Viendo que estaba cercano el final de sus días, llamó a sus tres hijos para repartirles la herencia:

        A ti, por ser el mayor, te daré la mitad de las ovejas.

        Tú, que eres el mediano, te quedarás con la cuarta parte del rebaño.

        Y para ti será la sexta parte, ya que eres el pequeño.

Al comprobar que la herencia no se podía repartir, un vecino generoso, añadió una oveja para que pudieran efectuar el reparto. Hicieron el reparto, cada uno cogió su parte y devolvieron al vecino su oveja ¿Cuántas ovejas había?


Resolución


Para poder repartir la herencia, con la oveja del vecino, el número de animales tiene que ser múltiplo de dos (para poder hacer la mitad), múltiplo de de cuatro para que el segundo hijo pueda coger la cuarta parte sin tener que matar ninguna oveja y múltiplo de seis para que también el tercero pueda coger su parte. El múltiplo común a dos, cuatro y seis mas pequeño es 12. Si el pastor tuviera 12 ovejas al mayor le corresponderían 6, al mediano, 3 y al mas joven 2 que harían un total de 6+3+2=11 ovejas. Lo que pasó es que el pastor tenía 11 ovejas y con la del vecino sus hijo pudieron pudieron repartirse la herencia.


Si os ha gustado este aquí tenéis otro para para ver si lo sacáis

Un collar se rompió mientras jugaban dos enamorados.  Una hilera de perlas se escapó. La sexta parte al suelo cayó.  La quinta parte en el lecho quedó. Un tercio por la joven se salvó. La décima parte el bienamado recogió. Y con seis perlas el cordón quedó. ¿Cuántas perlas tenía el collar de los bienaventurados?

LA SOLUCIÓN LA PÁGINA DE SOLUCIONES DENTRO DE UNOS DÍAS

ANIMAROS Y MANDARME PROBLEMAS YA QUE NO ME MANDAIS SOLUCIONES

Ensayo y error

En la resolución de problemas el método más antiguo quizás sea el de ensayo y error, y también el mas utilizado por aquellas personas que no tienen a mano otros métodos o algún indicio de resolución. El método en si consiste en ponerse manos a la obra haciendo lo que se pueda y si se acierta bien, si no, se vuelve a intentar después de haber aprendido algo con el ensayo anterior. Un rompecabezas clásico que puede ilustrar este método es el de las Torres de Hanói

Enunciado

Se trata de llevar los tres discos de la figura desde el mástil en que se encuentran hasta el de la derecha con las siguientes reglas

        1. Solo se puede mover un disco de cada vez
        2. No se puede poner un disco sobre otro de menor tamaño
        3. Solo se puede mover un disco de cada vez

Resolución


Entre otras esta puede ser una solución

Los dibujos no son una maravilla, pero espero que haya quedado claro. Como siempre os propongo el siguiente problema

En la siguiente cuadricula ir desde A hasta B pasando por todos los cuadros y no moviéndose dos veces seguidas en la misma dirección

ANIMAROS Y MANDARME LAS SOLUCIONES, COMENTARIOS U OTROS PROBLEMAS SIMILARES

De atrás para adelante con diagramas de cálculo

Los diagramas de cálculo son representaciones gráficas de procedimientos de cálculo (ver diagramas de flujo). Por medio de los diagramas de cálculo podemos describir un problema y facilitar su resolución como veremos en el siguiente problema

Enunciado

Un agricultor lleva sus pimientos al mercado. La tercera parte de los kilos de pimientos que llevaba y 2 Kg. mas los vendió a 3 € el Kg. De los que le quedaban vendió dos tercios y 3 Kg. A 2’5 €/Kg. Los últimos seis kilogramos que le quedaban los vendió a 2 €/Kg. ¿Cuántos Kg. de pimientos llevó al mercado? ¿Cuánto dinero consiguió por ellos?

Resolución

Utilizamos los rectángulos para indicar cálculos y los círculos para indicar resultados traduciendo al diagramas el enunciado del problema de la siguiente manera

•  La tercera parte de los kilos de pimientos que llevaba y 2 Kg. mas los vendió a 3 € el Kg

En los círculos negros estarían los kg de pimientos que tiene y en rojo y en horizontal los que vende. En vertical ponemos los que le quedan

Seguimos con el enunciado

• De los que le quedaban vendió dos tercios y 3 Kg. A 2’5 €/Kg

De nuevo ponemos en vertical los que le quedan

Y terminamos con la última parte del enunciado

• Los últimos seis kilogramos que le quedaban los vendió a 2 €/Kg.

Ahora ya solo hay que ir rellenando el diagrama con los datos que faltan

Vendió 21 Kg a 2'5 €/kg

Y resulta que llevó 43'5 kg al mercado y vendió 16`5 kg a 3 €. El dinero obtenido es en total

Acabamos como siempre con otro problema para practicar

La mitad de las canciones que lleva Wnefrido en su iPod son de rock, del resto los dos tercios son pop y además tiene tres canciones de Folk. ¿Cuántas canciones lleva Wnefrido en su iPod?

PRÓXIMAMENTE LA SOLUCIÓN EN LA PÁGINA DE SOLUCIONES. ANIMAROS CON SOLUCIONES Y COMENTARIOS SERÉIS RECOMPENSADOS

Los diagramas de Venn en la resolución de problemas

 Los diagramas de Venn se utilizan para representar conjuntos, su unión y su intersección, aquí los emplearemos para la resolución de problemas como el siguiente


Enunciado


Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

138 personas consumían A pero no B.

206 personas consumían A y B.

44 personas no consumían ni A ni B.

1. ¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas.
2. ¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas.
3. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas.
4. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?

Resolución


Comencemos por representa con un cuadrado el conjunto de las 500 personas encuestadas

y en el representamos mediante dos círculos los que consumen cada producto

Cada encuestado está en el circulo correspondiente, así los 138 que consumen A pero no B estarán en el círculo A pero no en el B, luego en la zona señalada

 Las 206 personas que consumen A y B, como tienen que estar en los dos círculos a la vez estarán en la zona

Las 44 personas que no consumen ni un producto ni el otro estarán fuera de los dos círculos como se ve en el siguiente dibujo

Ahora podemos empezar a hacer cálculos.

a) Los que consumen el producto A son los que están en el círculo A, es decir, 206+138=424

b) Los que están en la zona en blanco del circula B serán 500-(206+138+44)=32, luego los que están en el círculo B son 32+206=238 que son los que consumen el producto B

c) Las personas que consumen B pero no consumen A estan en la zona Blanca del círculo B es decir 32

d) Las personas que consumen alguno de los dos productos están en alguno de los dos círculos (zonas blanca Azul y marrón) es decir 32+206+138=500-44=436

¿Qué tal el siguiente problema?

Una encuesta revela que el 35% de los habitantes de La Laguna oyen la cadena SER, el 28% la COPE y el 10% ambas emisoras de radio. Si se elige al azar uno de estos ciudadanos:

        a) ¿Qué porcentaje escucha alguna de estas emisoras de radio?

               b)¿Qué porcentaje no escucha ninguna de ellas?

        c) ¿Qué porcentaje escucha solamente una de las dos?

OS ANIMO A MANDARME LAS SOLUCIONES 

Otra vez para atrás

Muchos problemas en apariencia complicados son muy fáciles haciéndolos de atrás para adelante estos días he estado haciendo unos cuantos con mis alumnos, entre ellos el que puse en el examen de 2º de bachillerato

Enunciado

Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda una partida, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno de ellos posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno tenía 24 €. ¿Cuánto dinero tenía cada jugador al comenzar el juego?

Resolución

Comenzaremos esta vez por hacer una tabla con los datos que nos da el problema

he iremos rellenando la tabla desde atrás para adelante.

1. Supongamos que sea el de la primera columna el que perdió la última partida (da igual si fuera otro pues bastaría con cambiar el orden). Como a cada uno de los otros les ha dado una cantidad igual a la que tenían ahora tienen el doble, luego sabemos que antes tenían cada uno 12 € y él por tanto 24 € mas. La tabla nos queda

2. Supongamos ahora que sea el segundo el que perdió la segunda partida doblando el dinero que tenían los otros dos, entonces el primero tenía 24 € y le dio otros tantos, el tercero tenía 6 € y él habría perdido 30€, la tabla quedaría así

3. El tercero tiene que haber perdido la primera partida y en consecuencia al primero le dio 12 € y al segundo 21 € perdiendo en total 33 €. Llegamos así a la situación de inicio, que queda

Luego al comienzo tenían 12 €, 21 € y 39 € y, por suerte perdió cada partida el que tenía mas dinero.

Os propongo el siguiente problema

Una aldeana sale de casa con una cesta de huevos. Camino del mercado se encuentra con una señora a la que vende la mitad de los huevos que llevaba mas medio huevo. Mas adelante se encuentra con una segunda señora a la que también le vende la mitad de los huevos que llevaba mas medio huevo. Finalmente, en el mercado le vende a una tercera señora la mitad de los huevos que llevaba mas medio huevo quedándose sin huevos para vender. ¿Con cuantos huevos salió de casa?

¿Habrá que aprtir algún huevo?

SEGURO QUE TENEIS ALGO QUE COMENTARME O ALGUNA SOLUCIÓN QUE PROPONER

Ojo con la intuición

La lectura del enunciado es el primer paso para la resolución de un problema. Pero hay que leer con detenimiento el enunciado y tomarselo con calma hasta comprender bien el problema, un ejemplo llamativo puede ser el siguiente problema

Enunciado

Tres personas coinciden en un refugio de montaña. Una de ellas aporta cinco troncos para el fuego, una segunda lleva tres troncos. La tercera no lleva ningún tronco, así que en compensación le da a los otros ocho monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas?

Resolución

La primera respuesta que nos viene a la cabeza es tres nonedas para el que aporta tres troncos y cinco para la que aporta cinco, pero ¿sería esto justo?. Veamoslo

Los tres se calientan con cinco troncos de forma que cada uno aprovecha 8/3 de tronco.

• El que aporta 5 troncos (15/3) hace uso de los 8/3 que aporta y da los otros 7/3 para el que no aporta ninguno
• El que pone tres troncos (9/3) se calienta con 8/3 y le da 1/3 al que no aporta ninguno

Luego en justicia el que aporta cinco troncos debe quedarse con 7 monedas y el que aporta tres troncos con una

¿Qué te parece el siguiente problema?

Tenemos dos garrafas, una tiene 10 litros de agua y la otra 10 litros de vino. Se echa tres litros de la garrafa de agua en la garrafa del vino y, tras revolverlo todo, se vuelven a echar tres litros de la mezcla en el recipiente del agua. Después de los trasiegos ¿qué habrá, más agua en la garrafa del vino o más vino en la garrafa del agua?

SIGO ESPERANDO VUESTROS COMENTARIOS



El principio del palomar

Algunos problemas se como el que sigue resuelven mediante el principio del palomar

 

Enunciado:

 

Supongamos que en una reunión hay n personas y nos preguntamos por el número de personas que conoce cada una. Convenimos que si una persona conoce a otra, esta también conoce a la primera; y que  “nadie se conoce a sí mismo”. Probar que hay al menos dos personas que tienen el mismo número de conocidos.

 

Resolución:

 

El principio del palomar, en resumen, viene a decir que si en un palomar hay mas palomas que nidos en algún nido se tiene colocar mas de una paloma. Utilizaremos este hecho evidente para resolver el problema.

Hagamos n+1 casillas donde iremos colocando a cada cual según el número de conocidos desde el que no conoce a nadie (casilla 0) hasta el que conoce a todos (casilla n)

1. Nadie puede conocer a todos, puesto que no se conoce a sí mismo, luego la casilla n debe quedar vacía

2. Si uno conoce a todos los demás es conocido por todos ellos, lo colocamos en la casilla n-1 y la cero tendría que quedar vacía ya que todos lo conocerían (conocerían a alguien)

 

Nos quedarían n-2 casillas y n-1 personas con lo que en alguna casilla tendría que haber dos personas que conocerían al mismo número de personas.

 3. Si no hay nadie que conozca todos los demás la casilla n-1 tiene que quedar vacía

De nuevo tendríamos n personas para n-1 casillas y en al alguna de ellas tendría que haber dos personas que tendrían el mismo número de conocidos. O sea en cualquier caso siempre hay dos personas como mínimo que conocen al mismo número de personas.

Te propongo el siguiente problema para resolver

 

Se distribuyen al azar 51 puntos en un cuadrado de 1 metro de lado. Verificar que hay 3 de esos puntos que se pueden cubrir con un cuadrado de lado 20 cm.

 

ESPERO VUESTROS COMENTARIOS Y/O SOLUCIONES

De atrás para adelante

El problema de la última entrada esta resuelto mediante el método de "empezar desde atrás" consiste en empezar a resolver el problema desde el final como se hizo en la última entrada. Hoy he resuelto en clase de 2º de bachillerato (Matemáticas para las Ciencias Sociales II) el siguiente problema:

Enunciado:

Un padre muere dejando muchos hijos. En su testamento especifica:

"El hijo mayor debe recibir 100 coronas más la décima parte del resto."

"El segundo debe recibir 200 coronas más la décima parte del resto."

"El tercero debe recibir 300 coronas más la décima parte del resto."

"El cuarto debe recibir 400 coronas más la décima parte del resto."

Y así sucesivamente hasta el último de los hijos. Al final de la repartición descubrieron que la fortuna del padre se había repartido en partes iguales entre los hijos. ¿Cuántos hijos había?. (Euler).

Resolución:

• Si hay n hijos el último recibe 100n coronas mas la décima parte del resto, pero como se ha repartido ya toda la herencia no pueden sobrar nueve décimas partes, luego recibe exactamente 100n coronas (el resto es cero, de forma que 100 coronas mas la décima parte de cero es 100n coronas
• El anterior recibe 100 coronas menos de fijo, es decir 100(n-1) coronas mas la décima parte del resto. Si x es el resto recibe
          y todavía quedan  para el último hermano

• Es decir que tenemos que al último hermano le quedan 100n coronas que son 9x/10

y pasando el 10 para el otro lado

• Como n es un número entero (no se puede partir a un hermano), 1000 no es múltiplo de 9 y 1000n si (9x), n tiene que ser un múltiplo de nueve; pongamos que sea 9

Tenemos entonces que hay nueve hermanos y que cada uno recibe 900 coronas, siendo 8100 coronas la herencia total. Comprobémoslo:

1. El primero recibe 100 coronas y la décima parte de las otras 8000 coronas, es decir 100+800=900 coronas y quedan 7200 coronas.
2. El segundo recibe 200 coronas y la décima parte de las restantes 7000 es decir 200+700=900 coronas y quedan 6300 coronas
3. El tercero recibe 300 coronas y la décima parte de las restantes 6000: 300+600=900 coronas quedando 5400 coronas por repartir
4. Al cuarto le corresponden 400 coronas y la décima parte de las otras 5000, osea 900 coronas quedando 4500 coronas
5. Al quinto 500 coronas mas 4000/10=400, es decir 900 coronas y quedan 3600 coronas
6. Al sexto 600+3000/10=900 coronas quedando 2700 coronas
7. Al séptimo 700+200=900 coronas y quedan 1800 coronas
8. Al octavo 800+100=900 coronas y quedan otras 900 coronas para el último.

Hay otra forma de resolver el problema sin hacer uso de la estrategia "de atrás para adelante". Veámosla:

Si x es la herencia total

• El primero recibe 100 coronas mas la décima parte del resto, es decir

         quedando todavía

• El segundo recibe 200 coronas mas la décima parte del resto, es decir la décima parte de

         luego

y como los dos reciben lo mismo

que al resolver nos da un valor de 8100 coronas para el total de la herencia y

para cada uno de los hermanos, recuerda que todos reciben la misma cantitad. Esto hace que tubiera

nueve hijos.



Sobre representaciones gráficas en la resolución de problemas

La representación gráfica de los datos de un problema nos ayuda a resolver el mismo. Veamos un ejemplo:

Enunciado:

Los dos tercios de los libros de la biblioteca del Tío Evaristo y 3 libros mas son novelas; del resto la mitad y 3 libros mas son ensayos científicos, el resto son 3 de poesía y uno de historia ¿Cuántos libros tiene la biblioteca del Tío Evaristo?


Representación gráfica:


La bilbioteca del Tío Evaristo se representa por un rectángulo negro divido en tres partes iguales, en la tercera se han representado "las tres novelas más". El resto, después de las novelas esta representado por un rectángulo rojo dividido en dos partes iguales, en la segunda parte se han representado los "tres ensayos más" y los libros de poesía e historia

Resolución:

Como el rectángulo rojo esta dividido por la mitad ("del resto la mitad") en la "otra mitad" tiene que haber otros 7 libros

y como el rectángulo negro esta dividido en tres partes iguales en las otras dos tiene que haber igual cantidad de libros 17

Y el tío Evaristo tiene 51 libros

Las matemáticas

¿Qué son las matemáticas?
Pincha en http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas para ver lo que se dice por la wikipedia.

A mi me llama la atención el siguiente párrafo:

"El significado se contrapone a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética)"

La gente suele acotar las matemáticas al manejo de números y fórmulas, algunos se acuerdan de la geometría y ayaden las figuras, areas y volúmenes, ..., otros añaden la estadística y la probabilidad, "los de ciencias" todavía añaden el cálculo de derivads e integrales, ...

A mi me gusta pensar que en matemáticas tiene cabida todo aquello que enseñe a manejar la información de manera abstracta mediante métodos y herramientas muy específicos.

Como profesor me gusta mas enseñar métodos que procedimientos y estos mas que los algoritmos. Me gusta mas que mis alumnos aprendan que que yo enseñe. Me gusta mas mostrarles el camino que conducirlos por el. Me gusta mas enseñarles a cocinar que darles de comer.

Aunque no puedo dejar de enseñar procedimientos y algoritmos (eso es lo que se les exige a los alumnos) intento trabajar la resolución de problemas, la estética de las matemáticas y, sobre todo, intento que se diviertan haciendo matemáticas. Lamentablemente no siempre lo consigo, pero como me emociona cuando lo consigo,...

Los principios

El objetivo de este blog es ofrecer a mis alumnos y a quien quiera leerlo lo que se me ocurra que deben saber sobre lo que enseño, lo que opino, lo que me gusta, etc. y dar la posibilidad de comunicarse conmigo.
Esta es la primera entrada, es evidente, y todavía no se como utilizar el blogg, pero espero ir aprendiendo y poniendo cosas de interes en nuevas entradas