De múltiplos y divisores

La necesidad de que un número sea entero da lugar curiosos problemas como el que sigue


Enunciado

Un pastor tenía 3 hijos y toda su fortuna la constituían sus ovejas. Viendo que estaba cercano el final de sus días, llamó a sus tres hijos para repartirles la herencia:

        A ti, por ser el mayor, te daré la mitad de las ovejas.

        Tú, que eres el mediano, te quedarás con la cuarta parte del rebaño.

        Y para ti será la sexta parte, ya que eres el pequeño.

Al comprobar que la herencia no se podía repartir, un vecino generoso, añadió una oveja para que pudieran efectuar el reparto. Hicieron el reparto, cada uno cogió su parte y devolvieron al vecino su oveja ¿Cuántas ovejas había?


Resolución


Para poder repartir la herencia, con la oveja del vecino, el número de animales tiene que ser múltiplo de dos (para poder hacer la mitad), múltiplo de de cuatro para que el segundo hijo pueda coger la cuarta parte sin tener que matar ninguna oveja y múltiplo de seis para que también el tercero pueda coger su parte. El múltiplo común a dos, cuatro y seis mas pequeño es 12. Si el pastor tuviera 12 ovejas al mayor le corresponderían 6, al mediano, 3 y al mas joven 2 que harían un total de 6+3+2=11 ovejas. Lo que pasó es que el pastor tenía 11 ovejas y con la del vecino sus hijo pudieron pudieron repartirse la herencia.


Si os ha gustado este aquí tenéis otro para para ver si lo sacáis

Un collar se rompió mientras jugaban dos enamorados.  Una hilera de perlas se escapó. La sexta parte al suelo cayó.  La quinta parte en el lecho quedó. Un tercio por la joven se salvó. La décima parte el bienamado recogió. Y con seis perlas el cordón quedó. ¿Cuántas perlas tenía el collar de los bienaventurados?

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Ensayo y error

En la resolución de problemas el método más antiguo quizás sea el de ensayo y error, y también el mas utilizado por aquellas personas que no tienen a mano otros métodos o algún indicio de resolución. El método en si consiste en ponerse manos a la obra haciendo lo que se pueda y si se acierta bien, si no, se vuelve a intentar después de haber aprendido algo con el ensayo anterior. Un rompecabezas clásico que puede ilustrar este método es el de las Torres de Hanói

Enunciado

Se trata de llevar los tres discos de la figura desde el mástil en que se encuentran hasta el de la derecha con las siguientes reglas

        1. Solo se puede mover un disco de cada vez
        2. No se puede poner un disco sobre otro de menor tamaño
        3. Solo se puede mover un disco de cada vez

Resolución


Entre otras esta puede ser una solución

Los dibujos no son una maravilla, pero espero que haya quedado claro. Como siempre os propongo el siguiente problema

En la siguiente cuadricula ir desde A hasta B pasando por todos los cuadros y no moviéndose dos veces seguidas en la misma dirección

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De atrás para adelante con diagramas de cálculo

Los diagramas de cálculo son representaciones gráficas de procedimientos de cálculo (ver diagramas de flujo). Por medio de los diagramas de cálculo podemos describir un problema y facilitar su resolución como veremos en el siguiente problema

Enunciado

Un agricultor lleva sus pimientos al mercado. La tercera parte de los kilos de pimientos que llevaba y 2 Kg. mas los vendió a 3 € el Kg. De los que le quedaban vendió dos tercios y 3 Kg. A 2’5 €/Kg. Los últimos seis kilogramos que le quedaban los vendió a 2 €/Kg. ¿Cuántos Kg. de pimientos llevó al mercado? ¿Cuánto dinero consiguió por ellos?

Resolución

Utilizamos los rectángulos para indicar cálculos y los círculos para indicar resultados traduciendo al diagramas el enunciado del problema de la siguiente manera

•  La tercera parte de los kilos de pimientos que llevaba y 2 Kg. mas los vendió a 3 € el Kg

En los círculos negros estarían los kg de pimientos que tiene y en rojo y en horizontal los que vende. En vertical ponemos los que le quedan

Seguimos con el enunciado

• De los que le quedaban vendió dos tercios y 3 Kg. A 2’5 €/Kg

De nuevo ponemos en vertical los que le quedan

Y terminamos con la última parte del enunciado

• Los últimos seis kilogramos que le quedaban los vendió a 2 €/Kg.

Ahora ya solo hay que ir rellenando el diagrama con los datos que faltan

Vendió 21 Kg a 2'5 €/kg

Y resulta que llevó 43'5 kg al mercado y vendió 16`5 kg a 3 €. El dinero obtenido es en total

Acabamos como siempre con otro problema para practicar

La mitad de las canciones que lleva Wnefrido en su iPod son de rock, del resto los dos tercios son pop y además tiene tres canciones de Folk. ¿Cuántas canciones lleva Wnefrido en su iPod?

PRÓXIMAMENTE LA SOLUCIÓN EN LA PÁGINA DE SOLUCIONES. ANIMAROS CON SOLUCIONES Y COMENTARIOS SERÉIS RECOMPENSADOS

Los diagramas de Venn en la resolución de problemas

 Los diagramas de Venn se utilizan para representar conjuntos, su unión y su intersección, aquí los emplearemos para la resolución de problemas como el siguiente


Enunciado


Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

138 personas consumían A pero no B.

206 personas consumían A y B.

44 personas no consumían ni A ni B.

1. ¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas.
2. ¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas.
3. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas.
4. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?

Resolución


Comencemos por representa con un cuadrado el conjunto de las 500 personas encuestadas

y en el representamos mediante dos círculos los que consumen cada producto

Cada encuestado está en el circulo correspondiente, así los 138 que consumen A pero no B estarán en el círculo A pero no en el B, luego en la zona señalada

 Las 206 personas que consumen A y B, como tienen que estar en los dos círculos a la vez estarán en la zona

Las 44 personas que no consumen ni un producto ni el otro estarán fuera de los dos círculos como se ve en el siguiente dibujo

Ahora podemos empezar a hacer cálculos.

a) Los que consumen el producto A son los que están en el círculo A, es decir, 206+138=424

b) Los que están en la zona en blanco del circula B serán 500-(206+138+44)=32, luego los que están en el círculo B son 32+206=238 que son los que consumen el producto B

c) Las personas que consumen B pero no consumen A estan en la zona Blanca del círculo B es decir 32

d) Las personas que consumen alguno de los dos productos están en alguno de los dos círculos (zonas blanca Azul y marrón) es decir 32+206+138=500-44=436

¿Qué tal el siguiente problema?

Una encuesta revela que el 35% de los habitantes de La Laguna oyen la cadena SER, el 28% la COPE y el 10% ambas emisoras de radio. Si se elige al azar uno de estos ciudadanos:

        a) ¿Qué porcentaje escucha alguna de estas emisoras de radio?

               b)¿Qué porcentaje no escucha ninguna de ellas?

        c) ¿Qué porcentaje escucha solamente una de las dos?

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