LA ELIPSE

LA ELIPSE
La suma de las distancias de cualquierpunto P a los focos de la elipse F y Q es siempre la misma

jueves, 3 de noviembre de 2011

Sobre la división

El siguiente problema pretende hacer reflexionar sobre la división entera con un resultado un tanto sorprendente.

Enunciado

Empaquetamos la producción de huevos de cierto día de una granja avícola en paquetes de 6 huevos y nos quedan 5 sueltos. ¿Cuál es el cociente y el resto de dividir el número total de huevos entre el número de paquetes?

Solución

Si sabemos que el número total de huevos es igual a 6 por el número total de paquetes mas los 5 huevos que quedan sueltos. Tambien sabemos ( deberíamos) que el dividendo (lo que se divide) es igual al divisor (lo que divide) por el cociente ( el reultado) mas el resto (lo que sobra). Si unimos las dos cosas tenemos que:

El número total de huevos (dividendo) es igual al producto de el número total de paquetes (divisor) por 6 (cociente) mas los 5 huevos que quedaban sueltos (el resto).

El cociente es 6 y el resto es 5 y no sabiamos que números estabamos dividiendo

sábado, 22 de octubre de 2011

Uno mas de geometría

Gracias a Julen que me lo pasó

Enunciado

El cuadrado ABCD y ek A’B’C’D’ son iguales i además A’ está en el centro del cuadrado ABCD. Hallar el área coloreada.
Solución

Siendo M y N las proyecciones de A’ sobre CD BC tenemos que los triángulos A’MD y A’NC son iguales
Si “cortamos" el triángulo A’MD del área roja y lo pegamos sobre A’ND
Tenemos que el área pedida es la cuarta parte del área del cuadrado





jueves, 17 de febrero de 2011

Otro problema de geometría

Seguimos con los problemas de geometría que requieren pocos conocimientos geométricos

Enunciado

Demuestra que la suma de los ángulos de la figura es igual a un recto (90º)
Solución

Colocar los dos primeros es fácil

Para "ver" el azul vamos a construir un cuadrado

Ahora ya "vemos" el azul, nos lo señala la diagonal del cuadrado (no importa que sea mas grande, es el mismo ángulo)

Y ya está demostrado

domingo, 30 de enero de 2011

El sentido común, el menos común de los sentidos

Algunos problemas son mucho mas sencillos de lo que parece si aplicamos el sentido común, he aquí un ejemplo


Enunciado


Tenemos cuatro tortugas a las que vamos a llamar echando imaginación A; B; C; D, un buen día las colocamos una en cada esquina de una habitación cuadrada. Las observamos y vemos que cada tortuga se dirige directamente hacia la que tiene a su derecha y todas a la misma velocidad. Por esa razón, siempre ocuparan los vértices de un cuadrado imaginario y que ira rotando. Así pues si la velocidad es de 1 cm por segundo para las tortugas. ¿Cuánto tardaran en encontrarse en el centro de la habitación si tiene 3 m. de lado? 
Resolución

Las cuatro tortugas se mueven con velocidades perpendiculares, de forma que el movimiento de una no varía la distancia que tiene que recorrer la que le sigue, aunque si la dirección en la que tiene que moverse. Cada una de las tortugas se acerca al resto con un velocidad, constante de 1 cm/s, luego tardarán 300 s. en encontrase, 5 minutos

jueves, 27 de enero de 2011

Otro problema de geometría

Enunciado
En una baldosa cuadrangular se han marcado los puntos medios de los lados, y luego se han unido mediante segmentos a los vértices tal como se puede ver en la figura, dibujándose así un pequeño cuadrado (en rojo). ¿Qué relación hay entre las superficies de la baldosa y el cuadrado?
Resolución
Observemos que sobre cada lado de la baldosa se forman un triángulo (en verde) y un trapecio (en azul)
Si hacemos girar el triángulo como se indica en la siguiente figura
Obtenemos un  cuadrado de igual área que el cuadrado rojo
Repitiendo el proceso en cada lado obtendríamos cuatro cuadrados


De manera que el área del cuadrado rojo es la quinta parte de la de la baldosa


jueves, 6 de enero de 2011

El lenguaje geométrico

Tradicionalmente, en clase de matemáticas enseñamos distintos lenguajes propios de la materia, pero como el tiempo apremia, la eficacia dicta sus leyes y la enseñanza es necesariamente conservadora (no sería conveniente enseñar "algo" no consolidado), los reducimos fundamentalmente a tres: el aritmético, el algebraico y el geométrico.
Tal vez sea el último de los mencionados el primero en la historia de las de las matemáticas, si no en su aparición si en su desarrollo. El gran referente occidental de la historia de las matemáticas en la antigüedad es la cultura Griega y no se caracteriza por el desarrollo del lenguaje aritmético, hay que esperar a los árabes para dar avances significativos; lo que si hicieron los griegos es desarrollar la geometría hasta cotas solo superadas en la modernidad.

El problema de hoy es de geometría y su resolución con el lenguaje geométrico

ENUNCIADO

Demostrar que la suma de las distancias de cualquier punto de un triángulo equilátero a cada uno de sus lados es constante




RESOLUCIÓN

Os doy una solución puramente geométrica, "sin palabras"  observarla bien y mandarme buestras dudas (si las hubiera).
Preparación
Paralelas, triángulos, alturas, giros ... Lo que el ojo bien entrenado puede ver




Solución
Traslación, oblicua y horizontal

Además de constante, se ha demostrado que es igual a la altura del triángulo.

Hay otras soluciones menos elegantes pero mas sencillas os animo que las busquéis y me las enviéis

PROBLEMA PROPUESTO

Un antiguo pergamino describía la situación de un tesoro pirata enterrado en una isla desierta. Las instrucciones para dar con el tesoro eran las siguientes:

Un joven aventurero descubrió el pergamino y como las instrucciones eran muy precisas fletó un barco y navegó hasta la isla. No tuvo dificultad en encontrar los árboles, pero la horca había desaparecido, y el tiempo había borrado toda huella de su emplazamiento. Desesperado, comenzó a cavar al azar por toda la isla, pero sus esfuerzos eran inútiles pues la isla era demasiado grande. Agotado y enfermo de cólera tuvo que regresar con las manos vacías.
Tú tienes los conocimientos suficientes para que si en alguna ocasión te ves en una situación parecida puedas hallar el tesoro con toda facilidad