De atrás para adelante

El problema de la última entrada esta resuelto mediante el método de "empezar desde atrás" consiste en empezar a resolver el problema desde el final como se hizo en la última entrada. Hoy he resuelto en clase de 2º de bachillerato (Matemáticas para las Ciencias Sociales II) el siguiente problema:

Enunciado:

Un padre muere dejando muchos hijos. En su testamento especifica:

"El hijo mayor debe recibir 100 coronas más la décima parte del resto."

"El segundo debe recibir 200 coronas más la décima parte del resto."

"El tercero debe recibir 300 coronas más la décima parte del resto."

"El cuarto debe recibir 400 coronas más la décima parte del resto."

Y así sucesivamente hasta el último de los hijos. Al final de la repartición descubrieron que la fortuna del padre se había repartido en partes iguales entre los hijos. ¿Cuántos hijos había?. (Euler).

Resolución:

• Si hay n hijos el último recibe 100n coronas mas la décima parte del resto, pero como se ha repartido ya toda la herencia no pueden sobrar nueve décimas partes, luego recibe exactamente 100n coronas (el resto es cero, de forma que 100 coronas mas la décima parte de cero es 100n coronas
• El anterior recibe 100 coronas menos de fijo, es decir 100(n-1) coronas mas la décima parte del resto. Si x es el resto recibe
          y todavía quedan  para el último hermano

• Es decir que tenemos que al último hermano le quedan 100n coronas que son 9x/10

y pasando el 10 para el otro lado

• Como n es un número entero (no se puede partir a un hermano), 1000 no es múltiplo de 9 y 1000n si (9x), n tiene que ser un múltiplo de nueve; pongamos que sea 9

Tenemos entonces que hay nueve hermanos y que cada uno recibe 900 coronas, siendo 8100 coronas la herencia total. Comprobémoslo:

1. El primero recibe 100 coronas y la décima parte de las otras 8000 coronas, es decir 100+800=900 coronas y quedan 7200 coronas.
2. El segundo recibe 200 coronas y la décima parte de las restantes 7000 es decir 200+700=900 coronas y quedan 6300 coronas
3. El tercero recibe 300 coronas y la décima parte de las restantes 6000: 300+600=900 coronas quedando 5400 coronas por repartir
4. Al cuarto le corresponden 400 coronas y la décima parte de las otras 5000, osea 900 coronas quedando 4500 coronas
5. Al quinto 500 coronas mas 4000/10=400, es decir 900 coronas y quedan 3600 coronas
6. Al sexto 600+3000/10=900 coronas quedando 2700 coronas
7. Al séptimo 700+200=900 coronas y quedan 1800 coronas
8. Al octavo 800+100=900 coronas y quedan otras 900 coronas para el último.

Hay otra forma de resolver el problema sin hacer uso de la estrategia "de atrás para adelante". Veámosla:

Si x es la herencia total

• El primero recibe 100 coronas mas la décima parte del resto, es decir

         quedando todavía

• El segundo recibe 200 coronas mas la décima parte del resto, es decir la décima parte de

         luego

y como los dos reciben lo mismo

que al resolver nos da un valor de 8100 coronas para el total de la herencia y

para cada uno de los hermanos, recuerda que todos reciben la misma cantitad. Esto hace que tubiera

nueve hijos.