El principio del palomar

Algunos problemas se como el que sigue resuelven mediante el principio del palomar

 

Enunciado:

 

Supongamos que en una reunión hay n personas y nos preguntamos por el número de personas que conoce cada una. Convenimos que si una persona conoce a otra, esta también conoce a la primera; y que  “nadie se conoce a sí mismo”. Probar que hay al menos dos personas que tienen el mismo número de conocidos.

 

Resolución:

 

El principio del palomar, en resumen, viene a decir que si en un palomar hay mas palomas que nidos en algún nido se tiene colocar mas de una paloma. Utilizaremos este hecho evidente para resolver el problema.

Hagamos n+1 casillas donde iremos colocando a cada cual según el número de conocidos desde el que no conoce a nadie (casilla 0) hasta el que conoce a todos (casilla n)

1. Nadie puede conocer a todos, puesto que no se conoce a sí mismo, luego la casilla n debe quedar vacía

2. Si uno conoce a todos los demás es conocido por todos ellos, lo colocamos en la casilla n-1 y la cero tendría que quedar vacía ya que todos lo conocerían (conocerían a alguien)

 

Nos quedarían n-2 casillas y n-1 personas con lo que en alguna casilla tendría que haber dos personas que conocerían al mismo número de personas.

 3. Si no hay nadie que conozca todos los demás la casilla n-1 tiene que quedar vacía

De nuevo tendríamos n personas para n-1 casillas y en al alguna de ellas tendría que haber dos personas que tendrían el mismo número de conocidos. O sea en cualquier caso siempre hay dos personas como mínimo que conocen al mismo número de personas.

Te propongo el siguiente problema para resolver

 

Se distribuyen al azar 51 puntos en un cuadrado de 1 metro de lado. Verificar que hay 3 de esos puntos que se pueden cubrir con un cuadrado de lado 20 cm.

 

ESPERO VUESTROS COMENTARIOS Y/O SOLUCIONES