El sentido común, el menos común de los sentidos

Algunos problemas son mucho mas sencillos de lo que parece si aplicamos el sentido común, he aquí un ejemplo


Enunciado


Tenemos cuatro tortugas a las que vamos a llamar echando imaginación A; B; C; D, un buen día las colocamos una en cada esquina de una habitación cuadrada. Las observamos y vemos que cada tortuga se dirige directamente hacia la que tiene a su derecha y todas a la misma velocidad. Por esa razón, siempre ocuparan los vértices de un cuadrado imaginario y que ira rotando. Así pues si la velocidad es de 1 cm por segundo para las tortugas. ¿Cuánto tardaran en encontrarse en el centro de la habitación si tiene 3 m. de lado? 

Resolución

Las cuatro tortugas se mueven con velocidades perpendiculares, de forma que el movimiento de una no varía la distancia que tiene que recorrer la que le sigue, aunque si la dirección en la que tiene que moverse. Cada una de las tortugas se acerca al resto con un velocidad, constante de 1 cm/s, luego tardarán 300 s. en encontrase, 5 minutos

Otro problema de geometría

Enunciado

En una baldosa cuadrangular se han marcado los puntos medios de los lados, y luego se han unido mediante segmentos a los vértices tal como se puede ver en la figura, dibujándose así un pequeño cuadrado (en rojo). ¿Qué relación hay entre las superficies de la baldosa y el cuadrado?

Resolución

Observemos que sobre cada lado de la baldosa se forman un triángulo (en verde) y un trapecio (en azul)

Si hacemos girar el triángulo como se indica en la siguiente figura

Obtenemos un  cuadrado de igual área que el cuadrado rojo

Repitiendo el proceso en cada lado obtendríamos cuatro cuadrados

De manera que el área del cuadrado rojo es la quinta parte de la de la baldosa



El lenguaje geométrico

Tradicionalmente, en clase de matemáticas enseñamos distintos lenguajes propios de la materia, pero como el tiempo apremia, la eficacia dicta sus leyes y la enseñanza es necesariamente conservadora (no sería conveniente enseñar "algo" no consolidado), los reducimos fundamentalmente a tres: el aritmético, el algebraico y el geométrico.
Tal vez sea el último de los mencionados el primero en la historia de las de las matemáticas, si no en su aparición si en su desarrollo. El gran referente occidental de la historia de las matemáticas en la antigüedad es la cultura Griega y no se caracteriza por el desarrollo del lenguaje aritmético, hay que esperar a los árabes para dar avances significativos; lo que si hicieron los griegos es desarrollar la geometría hasta cotas solo superadas en la modernidad.

El problema de hoy es de geometría y su resolución con el lenguaje geométrico

ENUNCIADO

Demostrar que la suma de las distancias de cualquier punto de un triángulo equilátero a cada uno de sus lados es constante

RESOLUCIÓN

Os doy una solución puramente geométrica, "sin palabras"  observarla bien y mandarme buestras dudas (si las hubiera).

Preparación

Paralelas, triángulos, alturas, giros ... Lo que el ojo bien entrenado puede ver

Solución
Traslación, oblicua y horizontal

Además de constante, se ha demostrado que es igual a la altura del triángulo.

Hay otras soluciones menos elegantes pero mas sencillas os animo que las busquéis y me las enviéis

PROBLEMA PROPUESTO

Un antiguo pergamino describía la situación de un tesoro pirata enterrado en una isla desierta. Las instrucciones para dar con el tesoro eran las siguientes:

Un joven aventurero descubrió el pergamino y como las instrucciones eran muy precisas fletó un barco y navegó hasta la isla. No tuvo dificultad en encontrar los árboles, pero la horca había desaparecido, y el tiempo había borrado toda huella de su emplazamiento. Desesperado, comenzó a cavar al azar por toda la isla, pero sus esfuerzos eran inútiles pues la isla era demasiado grande. Agotado y enfermo de cólera tuvo que regresar con las manos vacías.

Tú tienes los conocimientos suficientes para que si en alguna ocasión te ves en una situación parecida puedas hallar el tesoro con toda facilidad